Schneedeckenhalos unterhalb irdischer Lichtquellen

von Richard Löwenherz und Alexander Haußmann

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit Haloerscheinungen (Lichtbrechungsphänomene in hexagonalen Eiskristallen), die auf der Schneedecke oder in Reif vorkommen und von irdischen Lichtquellen (z.B. Straßenlaternen) verursacht werden.

In der Fachwelt sind ähnliche Erscheinungen bekannt, die jedoch durch Sonne oder Mond entstehen. Wegen des strahlenförmigen Lichtweges einer irdischen Lichtquelle entstehen gegenüber diesen Phänomenen bestimmte Abweichungen.

Die Schneedeckenhalos unterhalb irdischer Lichtquellen stellen ein bisher unbeachtetes Phänomen dar, welches auch in spezieller Fachliteratur noch keine Erwähnung fand.

In der Arbeit wird die Beobachtung dieser Erscheinung dokumentiert und modellhaft erklärt. Weiterhin werden die mathematischen Methoden vorgestellt, mit denen solche Schneedeckenhalos simuliert werden können. Die Umsetzung der Formeln erfolgte mit einem Computerprogramm, das Simulationen aus verschiedenen Gesichtspunkten ermöglicht.

Beobachtung und Erklärung von Schneedeckenhalos

1. Thematische Eingrenzung

Bevor die Schneedeckenhalos in dieser Arbeit näher behandelt werden, sollte diese seltene Naturerscheinung erst einmal in die vielfältige Gruppe der Atmosphärischen Optik eingeordnet werden. So besteht die Möglichkeit, sich eine bessere Vorstellung über die Existenz solcher Naturphänomene zu machen. 
Zu der Gruppe der Atmosphärischen Optik zählen in erster Linie Höfe, Kränze, Regenbögen und Haloerscheinungen, die wohl jeder schon einmal gesehen hat. Von allen Erscheinungen dieser Gruppe sind die Haloerscheinungen am häufigsten vertreten. Es handelt sich hierbei um optische Lichtphänomene in der Troposphäre, deren Entstehung auf Lichtbrechung und -spiegelung an hexagonalen Eiskristallen (siehe Abb.) zurückzuführen ist.

Bei einem Brechungsindex von n = 1,310 für Eis wird das Licht beim Durchqueren der sechsseitigen Eiskristalle grundsätzlich um 22° oder 46° abgelenkt. Dabei spaltet sich das Licht auch in seine Spektralfarben auf. Sind diese Kristalle beim Fall durch die Atmosphäre zufällig orientiert, entstehen der 22°-Ring und 46°-Ring, wobei der rote Lichtanteil auf der Innenseite der Ringe liegt. Die scharf abgegrenzten Innenränder der Ringe entsprechen den Minimalablenkungswinkeln von 22° und 46°. Nach außen hin nimmt die Lichtkonzentration gleichmäßig ab (in der rechten Zeichnung durch Drehung des Kristalls realisiert).

Die dafür verantwortlichen Eiskristalle sind am häufigsten im oberen Wolkenstockwerk anzutreffen, in Höhen von 6 -12 km als sogenannte Cirruswolken. In selteneren Fällen können diese Kristalle in unserer unmittelbaren Umgebung auftreten (z. B. im Schneefall). Die dazu notwendigen negativen Temperaturen werden in den gemäßigten Breiten nur in den Wintermonaten erreicht. Dann können auch irdische Lichtquellen Halos erzeugen (Laternen, Leuchttürme, Autoscheinwerfer, etc.). Die sonst so vertraut vorkommenden Halos zeigen sich unter solchen Umständen meist in ganz anderer Erscheinungsform. Dazu gehören u. a. die in dieser Arbeit aufgeführten Schneedeckenhalos, die nicht nur in abgelagerten Schneekristallen, sondern auch in Reifkristallen auftreten können.

Die folgende Statistik zeigt die Verteilung der Entstehungsmöglichkeiten von Halos im Laufe eines Jahres (1.07.1996 - 30.06.1997). Der Zeitraum wurde so gewählt, dass die Winterhalos eine komplette Reihe bilden, bzw. die Beobachtungszeit der Schneedeckenhalos unterhalb irdischer Lichtquellen vollständig enthalten ist. Hierbei ist jedoch zu beachten, dass nicht jedes Jahr eine strenge Frostperiode für so zahlreiche Winterhalos sorgt. Auch die Registrierung von Reifhalos an irdischen Lichtquellen war nur bedingt möglich (fehlende Lichtquellen in Wiesennähe). Die Statistik soll lediglich die verschiedenen Entstehungsmöglichkeiten von Haloerscheinungen verdeutlichen. Im genannten Zeitraum konnten von A. Haußmann und R. Löwenherz im Raum Hörlitz / Klettwitz an insgesamt 192 Tagen Halos verzeichnet werden:

    Sonne Mond Lampe
Ganzjahreshalos (1) Cirrenhalos 157 d 38 d -
Ganzjahreshalos (2) Eisschirmhalos 12 d 2 d -
Ganzjahreshalos (3) Fallstreifenhalos 8 d 2 d -
Winterhalos (4) Eisnebelhalos 1 d 0 d 0 d
Winterhalos (5) Polarschneehalos 2 d 0 d 0 d
Winterhalos (6) Schneedeckenhalos 2 d 0 d 10 d
Winterhalos (7) Reifkristallhalos 8 d 0 d 1 d
Gesamtzahl aller Halotage   173 d 41 d 11 d

(1) in hohen Wolken (Ci / Cc / Cs) 
(2) in Eisschirmen von Schauer- / Gewitterwolken (Cb cap) 
(3) in Fallstreifen von mittelhohen / tiefen Wolken (Ac vir / Sc vir / Cu vir) 
(4) in Nebel / Hochnebel(resten), in Luftschichten mit schwebenden Eiskristallen am klaren Himmel 
(5) in fallenden Eiskristallen als gefrorene Niederschläge (Schnee, Schneegriesel, Eisnadeln, Diamantstaub) 
(6) in abgelagerten Eiskristallen am Boden / auf Schneeoberfläche 
(7) in Reifkristallen an Gräsern / Sträuchern / Bäumen, in schwebenden Reifkristallen

2. Beobachtung von Schneedeckenhalos an der Sonne und unterhalb irdischer Lichtquellen

Der folgende Beobachtungsbericht wurde bereits mit einer theoretischen Betrachtung zu Schneedeckenhalos unterhalb irdischer Lichtquellen in den "Mitteilungen des AKM" veröffentlicht (MM Nr. 2 / 1997, S. 30-34). Er erscheint hier in einer überarbeiteten und z.. T. gekürzten Version. Zu den derzeitigen Witterungsumständen sei angemerkt, dass eine 24-tägige Dauerfrostperiode vom 20.12.1996 bis 12.01.1997 mit extrem tiefen Temperaturen (bis -22°C!) Ursache für das Auftreten zahlreicher Winterhalos war.

Schneedeckenhalos an der Sonne

Am Abend des 29. 12. 1996 brachte eine Okklusion im Raum Klettwitz leichten Schneegriesel (keine Schneesterne). Die Lufttemperatur fiel zum nächsten Morgen von -10°C auf -13,6°C ab. Nach Messungen am Folgetag betrug die Neuschneeschicht nur 2 mm, die sich auf einer bereits vorhandenen 2 bis 3 cm starken Schneedecke ablagerte. Wegen der tiefen Temperaturen hielt ich wie schon in den vergangenen Tagen immer wieder nach Schneedeckenhalos Ausschau - an diesem Morgen scheinbar mit Erfolg.

Auf ebenen Stellen der Schneedecke war ein leichtes bogenförmiges Aufglitzern im Abstand von 22° unter der Sonne zu erkennen. Die Erscheinung machte sich vor allem bei Bewegung bemerkbar, da der Glitzerbogen bei Positionsveränderung "mitwanderte". Beim Versuch diese Erscheinung auf einer zugeschneiten Eisfläche (großflächig ebene Schneedecke) zu fotografieren, entdeckte ich zusätzlich noch ein regelmäßiges Aufglitzern bogenförmig im Abstand von 46° unter der Sonne, jedoch etwas schwächer als beim 22°-Ring. Der untere Rand des 46°-Rings erschien etwa 2 m vor meinen Füßen! Die einzelnen Kristalle auf der Schneeoberfläche, die beide Erscheinungen hervorriefen, glitzerten in allen Spektralfarben auf. Beide Ringe blieben den ganzen Tag über sichtbar. 

Anfangs vermutete ich, dass die Halos auf die kristallinen Rauhreifplättchen (Anreihung von Säulen) zurückzuführen waren, da sie sich erst in der vergangenen Nacht gebildet hatten. Doch bei genauerem Prüfen des Neuschnees fand ich schließlich ein deutlich hexagonal gebautes Eisplättchen (Durchmesser: 0,5 mm). Mit Sicherheit war der Neuschnee Ursache für die Schneedeckenhalos.

Die Zeichnung zeigt alle beobachteten Haloerscheinungen zum Höhepunkt des 30.12.1996. Von 10.23 bis 10.33 Uhr waren neben den beiden Schneedeckenringen noch 4 weitere Haloformen in Cirruswolken zu beobachten: die 22°-Nebensonnen, ein Fragment des 22°-Rings mit oberen Berührungsbogen und der Zirkumzenitalbogen. Eine derartige Kombination von Haloerscheinungen am Himmel und zugleich auf dem Schnee kommt äußerst selten vor.

Schneedeckenhalos unterhalb irdischer Lichtquellen

Noch am selben Abend kam ich auf die Idee, die Schneedecke im Licht einer Straßenlaterne zu betrachten. Tatsächlich war auch hier auf der ebenen Schneeoberfläche des zugefrorenen Gartenteichs ein ebenfalls bogenförmiges Aufglitzern der Schneekristalle knapp 20° unter der Laterne zu beobachten. Allerdings war die Beobachtung aufgrund geringer Lichtintensität der rund 50 m entfernten Laterne nur in geduckter Haltung möglich (Auge < 0,5m über dem Boden). Interessant war, dass sich der Radius des 22°-Ringes bei Annäherung zur Lichtquelle immer mehr verkleinerte und die Erscheinung bei einer Entfernung von etwa 30 m nicht mehr vom üblichen Glitzern des Schnees zu unterscheiden war.

Dieser Vorgang konnte nur auf den strahlenförmigen Lichtweg der Straßenlaterne zurückzuführen sein. Durch einfacher Konstruktion des Lichtweges bei einem Brechungswinkel von 22° im Schnee konnte der Vorgang bestätigt werden, welcher in Abhängigkeit von Beobachter- und Lampenhöhe, sowie deren Entfernung zueinander abläuft.. In der Skizze für die Linie Beobachter - Laterne erhielt ich jedoch noch ein zweiten, theoretisch vorhandenen Ringradius, welcher kleiner als der des beobachteten Rings ist. Hinzu kam die Erkenntnis, dass beide Radien bei Annäherung zur Lampe solange aufeinander zu laufen würden, bis sie bei Berührung plötzlich verschwinden.

Dieses interessante Phänomen sollte jedoch vorerst ungeklärt bleiben, da in den Folgetagen keine Schneedeckenhalos mehr auftraten - jedenfalls bis zum 4.01.1997.

Am Abend des 4. 1. hatte sich bei -7°C aus Schneegriesel eine etwa 4 mm starke Neuschneedecke gebildet. Der Griesel bestand aus einer ungewöhnlichen Kombination von Schneesternen, Eisnadeln (z. T. vergraupelt), Eiskrümeln und einzelnen Eiskörnern.

Zur selben Zeit machte ich eine überraschende Entdeckung. Im Licht unserer Hoflampe zeigte sich auf der Schneeoberfläche ein 22°-Ring, der sich komplett unter der Lampe befand und bei Bewegung seine Position und Größe änderte. Jetzt wurde mir klar, dass der zweite theoretisch ermittelte Ringradius nichts anderes war, als die Oberkante des kompletten Rings. Der Innenrand war deutlich abgegrenzt (aufgrund der Minimalabklenkung), während nach außen hin das Glitzern der Schneekristalle gleichmäßig abnahm ("Fransigkeit" des Ringes). Innerhalb des Ringes war so gut wie kein Glitzern zu beobachten. Die Ringunterkante hatte bei großer Entfernung zur Lampe einen Abstand von rund 20° zur Lichtquelle, der sich bei Annäherung zur Lampe verkleinerte. Nicht nur dieser Abstand verringerte sich, sondern der gesamte Ring schrumpfte in sich zusammen, bis er nur noch ein Fleck war (Verlauf siehe Abb.). Als ich mich nun der irdischen Lichtquelle weiter näherte, tauchte der wegen seiner Ausdehnung vorher nicht sichtbare 46°-Ring auf, dessen Zentrum jetzt der Fleck des verbliebenen 22°-Rings war. Schließlich verschwand der Fleck und der große Ring schrumpfte wie vorher der kleine Ring auf sein Zentrum zu, bis auch dieser nur noch ein Fleck war , der letztendlich verschwand.

Formveränderung der Schneedeckenhalos bei Annäherung zur irdischen Lichtquelle (5. 1. 1997)

Die Ursprungsradien beider genannten Ringe ließen sich aus größerer Entfernung mit der Freihandmessung ermitteln, da sich hier der Abstand vom unteren Rand eines Rings zur Lichtquelle dem Brechungswinkel von 22° bzw. 46° nähert. Der volle Wert kann jedoch nie erreicht werden, weil die Lichtstrahlen einer Lampe auch in großer Entfernung nur annähernd parallel verlaufen. Da sich die Ringgröße je nach Standort und Höhe des Beobachter(auge)s ständig änderte, sah ich keinen Grund das genaue Ausmaß des vermeintlichen Kreises zu bestimmen. Dabei entging mir ein wichtiges Erscheinungsbild, welches mir erst hinterher auf den Fotos auffiel - der Ring besaß eine ellipsenähnliche Form. Durch Verhältnismessungen der Höhe gegenüber der Breite mehrerer fotografierter Ringe, zeigte sich, dass sie etwa 2 bis 2,5 mal so breit wie hoch waren. Mit späteren Simulationen stellte sich noch heraus, dass die Erscheinung in ihrer Form sehr variabel auftreten kann.

Als am Mittag des 5. 1. Diamantstaub aus Stratuswolken fiel (bei -7°C und 98% relativer Luftfeuchte), lagerte sich dieser gleichmäßig am Boden ab. In der folgenden Nacht waren die Ringe außergewöhnlich hell und deutlich. Am 6. 1. fiel etwa 1 cm Neuschnee (nur Schneesterne) auf die haloproduzierenden Eiskristalle, welcher für die kommenden Nächte eine Abschwächung der Helligkeit bewirkte. Dennoch waren beide Ringe zu erkennen. Erst am 10. und 11. 1. grieselte es wieder. Damit wurden die Schneedeckenhalos wieder deutlicher und vor allem farbiger. Als am 12. 1. erstmals die Sonne zum Vorschein kam, war auch diese von beiden Ringen umgeben (bei -0,2°C!). Mit ihrem Auftreten endete am Folgetag der Dauerfrost und die Schneedecke taute oberflächlich an, was zur Folge hatte, dass die Schneedeckenhalos nicht mehr auftraten.

Der Grund für die Langlebigkeit der Erscheinungen ist auf die Wetterlage zurückzuführen. Vom 4. 1. bis zum 12. 1. verhinderte eine durchgehend vorhandene Hochnebelschicht ein Einwirken der Sonne auf die Schneedecke. Gleichzeitig sorgten die Wolken immer wieder für Eiskristallnachschub. Sofern es sich um Schneegriesel oder gar um Diamantstaub handelte, wirkte sich der Neuschnee positiv auf die Helligkeit der meist schwächer werdenden Halos aus. Interessant ist auch, dass die Erscheinung sogar auf Flächen zu sehen war, die oft betreten oder befahren wurden! Denn die Schneedeckenhalos waren nicht nur unter unseren Hoflampen zu beobachten, sondern auch unter zahlreichen Straßenlaternen und sogar unter Scheinwerfern fahrender Autos.

Schon nach den ersten Tagen hatte ich das Gefühl, dass es sich hierbei um ein gar nicht so seltenes Phänomen handelt. Ich konnte jedoch keinerlei Informationen über Schneedeckenhalos unterhalb irdischer Lichtquellen finden, was für mich Anlass war, der Entstehungsursache selbst auf den Grund zu gehen (-> 3. Erklärung des Entstehungsprinzips).

Haloliteratur ist leider nur spärlich vorhanden und in allen uns bekannten Werken gibt es nicht die geringsten Hinweise auf die Existenz dieser speziellen Erscheinung. Lediglich im Minnaert ("Licht und Farbe in der Natur") ist die Beobachtung eines 22°-Halos an der Lampe beschrieben (als spindelförmige dreidimensionale Erscheinung). Die Möglichkeit dieser Erscheinung an der Schneeoberfläche wurde nicht in Betracht gezogen. Es ist daher anzunehmen, dass diese Sonderform der Schneedeckenhalos seither von niemanden beobachtet bzw. bewusst wahrgenommen wurde.

Schneedeckenhalos können auch in Reifkristallen auftreten und das häufiger, als bisher angenommen wurde! Im Zeitraum seit der Entdeckung der Schneedeckenhalos unterhalb irdischer Lichtquellen (Jan. - Dez. 1997) konnten in Klettwitz 9 Reifhalobeobachtungen an der Sonne und 12 Beobachtungen unter irdischen Lichtquellen gemacht werden. Im Endeffekt lässt sich jetzt schon sagen, dass fast jede Reiferscheinung einen 22°-Ring hervorbringen kann. Die entsprechenden Reifkristalle bilden sich häufig bei Strahlungsfrost und ruhigen Windverhältnissen in einer klaren Nacht. Diese Bedingungen werden vor allem in den Monaten März, April, Oktober und November erfüllt, in denen auch die meisten Reifhalos erfasst wurden.

In erster Linie beweist ein Auftreten dieser Erscheinung, egal ob in Reif oder Schnee, ein Vorhandensein regelmäßiger hexagonaler Eiskristalle am Boden. Unklar ist noch, warum sich in Reif nur der 22°-Ring ausbildet und nicht auch der 46°- Ring. Vermutlich besitzen die sechseckigen Reifkristalle keine glatten Grundflächen, die für eine Entstehung des 46°-Rings von Notwendigkeit sind. Um das zu beweisen, müssten die Kristalle mit einem Mikroskop untersucht werden.

3. Erklärung des Entstehungsprinzips

Im folgenden Abschnitt soll die Entstehungsursache von Schneedeckenhalos unterhalb irdischer Lichtquellen verdeutlicht werden, bevor dieses Phänomen im zweiten Teil dieser Arbeit aus mathematischer Sicht betrachtet wird. Hierbei ist auch ein wenig die räumliche Vorstellungskraft gefragt. 
Als Erklärungsbeispiel wurde die Erscheinung des 46°-Rings gewählt. Da der Halo im Winter auch in unmittelbarer Nähe zum Beobachter auftreten kann, soll zunächst Polarschnee für die Entstehung der Erscheinung verantwortlich sein. Das heißt, der Beobachter ist von fallenden hexagonalen Eiskristallen umgeben, die den gesamten Raum um ihn herum einnehmen. Natürlich ist auch eine Lichtquelle vorhanden, die den genannten Raum ausleuchtet.

Die Folge ist, dass es in jedem Eiskristall zu einer Brechung des Lichtstrahls kommt (in diesem Beispiel um 46°). Es erreicht jedoch nur jenes gebrochene Licht das Auge des Beobachters, das in Kristallen, die an bestimmten Stellen positioniert sind, gebrochen wird. Alle haloverursachenden Eiskristalle besitzen demnach eine bestimmte dreidimensionale Anordnung, auch wenn beispielsweise ein 46°-Ring an der Sonne vom Beobachter als zweidimensionales Gebilde wahrgenommen wird. Die hier genannte räumliche Anordnung ist als Außenhülle geometrischer Körper zu betrachten, die in ihrer Gestalt den Schlüssel für die Erklärung der Erscheinungen bilden.

Anordnung der Eiskristalle, die bei fallendem Diamantstaub (Polarschnee) und Sonnenschein (parallel verlaufende Lichtstrahlen) einen 46°-Halo erscheinen lassen

Anordnung der Eiskristalle, die bei fallendem Diamantstaub (Polarschnee) und dem Licht einer Lampe (strahlenförmig verlaufendes Licht) einen 46°-Halo erscheinen lassen

Die haloverursachenden Kristalle, die für das Beobachterauge einen Lichtring produzieren, sind kegelförmig angeordnet. (Die Außenhülle des Kegels entspricht dieser Kristallfläche!)

Die haloverursachenden Kristalle, die für das Beobachterauge eine dreidimensionale Oberfläche produzieren, sind spindelförmig angeordnet. (Die Außenhülle des Körpers entspricht dieser Kristallfläche!)

Erklärungsversuch

Auf einer ebenen Schneedecke sind die Eiskristalle allerdings zweidimensional verteilt., so dass nur begrenzte Teile der eigentlichen Haloerscheinung sichtbar werden. Der Beobachter sieht dann nur noch die Schnittkurven der geometrischen Körper auf der Schneeoberfläche, die als Schneedeckenhalos bezeichnet werden. Man stelle sich vor, der spindelförmige Körper eines Lampenhalos taucht in die Schneedecke ein und erzeugt an seinem Außenrand auf der Schneeoberfläche den für den Beobachter sichtbaren Haloring. Während die Kegelschnitte (Hyperbeln) an der Sonne eindeutig als Kreissegmente erscheinen, sind die Schnittlinien der Spindelkörper in ihrer geometrischen Form nicht definiert. Bei nicht allzu großer Entfernung zwischen Beobachter und Lampe handelt es sich bei der Schnittlinie um ein ellipsenähnliches Gebilde, dass sich auf der Linie Beobachter - Lampe längsseits erstreckt. Der Beobachter sieht diese Schnittlinie aufgrund der Perspektive als quergerichtetes ellipsenähnliches Gebilde, welches in seiner Erscheinungsform als Schneedeckenhalo unterhalb einer irdischen Lichtquelle bezeichnet wird.

Da sich der besagte Spindelkörper nun bei Annäherung des Beobachters zur Lichtquelle in seiner räumlichen Ausdehnung immer mehr verkleinert (weil er seine dem Brechungswinkel angepasste Grundform beibehält), hebt er sich so auch automatisch von der Schneedecke ab. Aus der Sicht des Betrachters ist dieser Vorgang als zunehmende Verkleinerung des Schneedeckenrings zu beobachten. Wenn der Spindelkörper die Schneeoberfläche nur noch berührt, ist der Halo nur noch als Fleck zu erkennen. Eine weitere Annäherung zur Lampe führt dazu, dass der Spindelkörper den Bereich der Schneedecke vollständig verlässt, so dass die Haloerscheinung nicht mehr sichtbar ist.

Weitet man das Modell des Spindelkörpers in den Weltraum aus, lassen sich damit auch Halos an extraterrestrischen Lichtobjekten (als punktförmige Lichtquelle angenommen), wie der Sonne definieren. Durch die enorme Entfernung vom Beobachter zur Lichtquelle ist nur die äußerste Spitze des Spindelkörpers (die sich beim Lampenhalo direkt am Auge des Beobachters befindet) für die Haloringe in der Atmosphäre verantwortlich. Diese Spitze kommt der Gestalt eines Kegels sehr nahe, der bekanntlich die Entstehung von Sonnenhalos erklärt. Im Grunde genommen lässt sich die Abweichung vom Kegel auf der Erde nicht mehr nachweisen.

Schrumpfvorgang eines 46°-Rings auf der Schneedecke bei Annäherung zur Lichtquelle

Spindelkörpermodell im Querschnitt

Aus der Sicht des Beobachters

Entfernung Beobachter - Lampe: O - oberer Rand des Rings 
(1) = 12,0 m U - unterer Rand des Rings 
(2) = 9,0 m Z - Zentrum des Rings 
B - Berührungspunkt = Z 
Beobachterhöhe = 1,6 m 
Lampenhöhe = 2,0 m 

4. Konstruktionsmodell zur Darstellung aller ringförmigen Lichtbrechungserscheinungen

Das Spindelkörpermodell ist durch ein rotierendes Kreissegment definiert, das in Abhängigkeit des Lichtbrechungswinkels $\alpha$ in den Eiskristallen eine bestimmte Krümmung erhält. Damit das Kreissegment konstruiert werden kann, muss zuerst die Lage des Kreismittelpunktes M festgelegt werden, der das Kreissegment mit dem Winkel 2$\alpha$ eingrenzt, der dem Öffnungswinkel des Spindelkörpers entspricht. Auf diese Weise lassen sich alle ringförmigen Lichtbrechungserscheinungen modellhaft darstellen, auch der Regenbogen ($\alpha$ = 138° bzw. 129°).

B - Auge des Beobachters
L - Lichtquelle (Lampe / Straßenlaterne)
M - Mittelpunkt zum Konstruieren des Kreissegments
O - oberer Rand des Rings
U - unterer Rand des Rings
Z - Ringzentrum (läuft hier zusammen)
$\gamma$ - perspektivische Ringhöhe

bekannte Werte:

e - Entfernung vom Beobachter zur Lampe 
hB - Höhe des Beobachterauges 
hL - Höhe der Lichtquelle 
$\alpha$ - Brechungswinkel des Lichts in den Eiskristallen

Fotografien und Computersimulationen

22°-Schneedeckenhalo an der Sonne, Sonnenhöhe = 11,0°

Aufnahme: 30.12.1996, 10.07 MEZ, -10°C

Simulation zum Foto

22°- Schneedeckenhalo an einer irdischen Lichtquelle. Lampenhöhe = 2,7 m, Beobachterhöhe = 0,6 m, Entfernung= 17,6 m

Aufnahme: 5.01.1997, 21.53 MEZ, -8,5°C

Simulation zum Foto

Quellen

Löwenherz, RichardHaloerscheinungen an fallenden Eiskristallen, in Kristallen an der Schneeoberfläche und auf der Schneedecke unter irdischen Lichtquellen.
In: Mitteilungen des Arbeitskreises Meteore, Jahrgang 22 (1997), Nr.2, S. 30 ff

Minnaert, MarcelLicht und Farbe in der Natur.
Basel: Birkhäuser Verlag, 1992, S. 284 / 286

Schröder, GottfriedTechnische Fotografie.
Grundlagen und Anwendungen in Technik und Wissenschaft.
Würzburg: Vogel Verlag, 1981, S. 74 f

AutorenkollektivSchlag nach: Natur. Neubearbeitete und erweitere Ausgabe.
Leipzig: VEB Bibliographisches Institut, 1956. S. 436 ff

AutorenkollektivAlgebra und Geometrie für Ingenieur- und Fachschulen. 3. Auflage. 
Leipzig: Fachbuchverlag, 1967, S. 421

Bartsch, Hans-JochenTaschenbuch mathematischer Formeln. 16. Auflage.
Leipzig-Köln: Fachbuchverlag, 1994, S. 205 ff